இதுவா கணக்கு?

இதுவா கணக்கு?

ஜோ போளர்
வைகிங் பதிப்பகம்
ISBN 9780670019526

     ஜோ போளர், சஸ்ஸக்ஸ் பல்கலைக்கழக கணிதப் பேராசிரியர்.  அதற்கு முன் ஸ்டான்போர்ட் பலகலைகழகத்தில் கணிதப் பேராசிரியையாக பணியாற்றியவர்.   பல விதமான கணிதக் கல்வி முறைகளில் கற்றுத் தேர்ந்த குழந்தைகளின் வாழ்க்கையை பல ஆண்டுகளாக தொடர்ந்து கவனித்து ஆய்வு செய்பவர்.   அந்த  ஆய்வுகளின் முடிவுகளை சுருக்கமாக இந்த நூலில் எழுதியுள்ளார்.  

     உங்கள் குழந்தைகள் கணிதத்துடன் நடத்தும் போராட்டத்தை தத்தளிப்போடு பார்த்துக் கொண்டிருக்கும் பெற்றோராகவோ, எப்படி குழந்தைகளுக்கு கணிதத்தின் மேல் ஆர்வம் கொள்ள வைப்பது என்று தடுமாறும் ஆசிரியராகவோ இருந்தால், இந்தப் புத்தகம், உங்களுக்காக எழுதப்பட்டது என்று எண்ணிக் கொள்ளுங்கள்.  இந்தப் புத்தகத்தில், தற்கால கணிதக் கல்வி முறையின் குறைகள் பற்றியும் அவற்றைப் போக்குவதற்கான வழிமுறைகள் பற்றியும் படிப்படியாக விவரிக்கிறார் ஆசிரியர் ஜோ. இந்தப் புத்தகம் அமெரிக்க கணிதக் கல்வியை பின்புலமாகக் கொண்டு எழுதப் பட்டிருந்தாலும், இந்த நூலில் சொல்லப்பட்ட கருத்துக்கள் பல நாட்டுக் கணிதக் கல்வி முறைகளுக்கும் பொருந்தும்.

     நம்  ஊரில், ஒரு சில இடங்களைத் தவிர, குழந்தைகளின் கல்வி முறை பெரும்பாலும் ஒரு திறம்பட தகவல் சேகரிக்கும் கருவியாக மட்டுமே கருதப்படுகிறது.  பல மாணவர்கள் தாங்கள் நல்ல மதிப்பெண்கள் பெற்ற பாடங்களில் கூட உண்மையான ஆர்வம் இல்லாமல் இருப்பதைக் காண்கிறோம்.   இதற்கு பல காரணங்கள் உள்ளன.

      கணிதம் வகுப்பறைகளில் சொல்லிக் கொடுக்கப் படும் விதமே மாணவர்கள் கணிதத்தின் மேல் ஆர்வம் கொள்ளாமல் இருப்பதற்கு ஒரு முக்கிய காரணம் என்கிறார் ஜோ. இந்தப் பரிந்துரையில், ஆசிரியர் ஜோவின், முக்கியக் கருத்துக்களைத் தொகுத்து அளிக்க முயன்றிருக்கிறோம்.  

 

குழந்தைகளுக்கு கணிதம் பிடிக்காமல் போகக் காரணம் என்ன?

 

     பிழையான கணிதக் கல்வி முறையே குழந்தைகளுக்கு கணிதம் பிடிக்காமல் போவதன் காரணம் என்று உறுதியாக கணிக்கிறார் ஜோ.   தற்கால கணித கல்வி முறையில் உள்ள நான்கு முக்கிய பிழைகளை அடையாளம் காட்டுகிறார்.

     முதலில், தற்கால கணிதக் கல்விமுறையின் அபத்தத்தை இசைக் கல்வியுடன் ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால் புரிந்து கொள்ள முடியும் என்கிறார். இசை பயிலச் சென்றவனை, தினமும், மிகக் கவனமாக இசைக் குறியீடுகளை மட்டும் ஒரு தாளில் பிழையில்லாமல் எழுதச் சொல்லி, அதற்கு மதிப்பெண் கொடுத்தால் எப்படி இருக்கும்?  அந்தக் குழந்தை ஒரு போதும் இசைக் கருவியைத் தொடாமல் இசைப் பட்டம் வாங்கிச் செல்வது அபத்தமான கல்வி முறை அல்லவா?  அதுவா இசைக் கல்வி?  இசை என்பது ஒரு நிகழ்வு. தற்கால, கணித முறை, குழந்தைகளுக்கு கணிதப் பயிற்சியை மட்டுமே அளிக்கிறது.  குழந்தைகள் கணிதத்தைத்  நடைமுறை ரீதியாக கற்றுக் கொள்வதில்லை.  கணிதம், வெறும் தாளில் நடத்தப்படும் சாகசமாக மட்டுமே இருந்து விடுகிறது.

 

     இரண்டாவது பெரிய சிக்கல், கணித வகுப்பறைகளில் உள்ளது என்கிறார்  பெரும்பாலான பள்ளிகளில் ஆசிரியர், ஒரு வகையான கணக்குகளை எப்படி அணுகுவது என்பதற்கான வழிமுறைகளைச் சொல்லிக் கொடுப்பர்.  ஆசிரியர்கள் அந்த வழிமுறைகளைச் சொல்லிக் கொடுத்த பின்னர், மாணவர்கள், அமைதியாக உட்கார்ந்து, கேள்விகளுக்கான பதில்களை, ஆசிரியர் சொல்லிக் கொடுத்த வழிமுறைகளை, அப்படியே நினைவுகூர்ந்து, கண்டுபிடிக்க எத்தனிப்பர்.  ஆரம்ப நிலைகளில், எல்லாக் குழந்தைகளும்  இந்த வழிமுறைகளை ஏறத்தாழ மனப்பாடம் செய்து சமாளித்து விடக் கூடும்.  ஆனால், கல்வி நிலை உயர உயர, மனதில் வைத்துக் கொள்ள வேண்டிய வழிமுறைகளின் எண்ணிக்கை அதிகரித்துக் கொண்டே செல்கிறது.  அப்போது, பெரும்பாலான குழந்தைகளால், வழிமுறைகளை மனப்பாடம் செய்ய இயலாமல் போய் விடுகிறது.  அது மட்டுமின்றி, இத்தகைய பயிற்சிமுறை, குழந்தைகளுக்கு கணிதம் என்றால் யோசிக்கத் தேவை இல்லாத ஒரு பாடம்.  கணிதம் என்பது வழிமுறைகளை கவனமாகக் பின் பற்ற வேண்டிய ஒரு பாடம் என்ற கணிதத்தைப் பற்றிய எதிர்மறையான எண்ணத்தை குழந்தைகளின் மனதில்ஆழமாகப் பதித்து விடுகிறது.  

     மூன்றாவது காரணம் தற்கால கணிதக் கல்வி முறையில், மாணவர்கள் தங்கள் விடைகள் ஏன் சரியானவை என்பது பற்றியோ, எப்படி அந்த விடைகளை வந்தடைந்தனர் என்பது பற்றியோ, ஆசிரியரிடமோ, பிற மாணவர்களிடமோ சொல்லும் வாய்ப்புக்  கிட்டுவதில்லை.  தங்களது விடைகளை, மாணவர்கள்ஆசிரியரிடமோ, சக மாணவர்களிடமோ, நான் இந்தக் கேள்விக்கு இந்த விடையை இந்த விதமாக அடைந்தேன் என்று சொல்வது ஒரு முக்கியமான கணிதப் பயிற்சி.  கணிதத்திற்கு அவசியம் தேவையான தர்க்க புத்தியை  கூர்மைப் படுத்தும் செயல்.  இதை வகுப்பில் உள்ள எல்லா மாணவர்களும் செய்தால், மாணவர்களால் ஒரே கேள்வியை ஒவ்வொரு மாணவரும் ஒவ்வொரு விதமாக அணுகுவதைத் தெரிந்து கொள்ள முடியும்.  இத்தகைய பரிமாற்றம் மாணவர்களின் கணிதக் கல்வியை ஆழப்படுத்தும் ஒரு வாய்ப்பு.  துரதிருஷ்டவசமாக அந்த வாய்ப்பு தற்கால கணிதக் கல்வி முறையில் பெரிதளவும் இல்லை.

     நான்காவது பெரிய பிரச்னை, நம் கணிதக் கல்விப் புத்தகங்களில் உள்ள அபத்தமான, நிகழ் வாழ்க்கைக்கு ஒப்பாத கேள்விகள். உதாரணமாக,

"ஒரு விடுதிக்கு ஐந்து நண்பர்கள் வந்தனர்.  அவர்கள் ஐந்து வடைகளை தருவித்தனர்.  மூன்று நண்பர்கள் தத்தம் வடைகளை சாப்பிட்டு முடித்து விட்டனர்.  மற்ற இருவர் அவர்களது வடை சாப்பிடும் முன் இன்னும் நான்கு நண்பர்கள் வந்து சேர்ந்தனர்.  வடை சாப்பிடாத அனைவரும் எவ்வாறு மீதமுள்ள இரண்டு வடைகளைப் பிரித்துக் கொள்ள வேண்டும்?"

இந்த மாதிரியான முட்டாள்தனமான கேள்விகள் கணித உலகத்திற்கு மட்டுமே உரித்தானவை என்று எல்லா குழந்தைகளுக்கும் தெரியும். அதிகப்படியான நண்பர்கள் தாமதமாக வந்தால், ஒன்று அவர்கள் தங்களுக்குத் தேவையான வடைகளைத் தருவிப்பார்கள், அல்லது அவர்களுக்கு வடை கிடைக்காது என்பது குழந்தைகளுக்கு தெரியும்.  இந்த மாதிரியான நடைமுறை வாழ்க்கைக்கு ஒவ்வாத கேள்விகள், கொஞ்சம் கொஞ்சமாக குழந்தைகளை, நடை முறை வாழ்க்கைக்கும், கணிதத்திற்கும் சம்பந்தம் இல்லை என எண்ண வைப்பது இயல்பே.

அப்படியானால் கணிதம் என்றால் என்ன?

 

தேவதாரு மரத்தின் கூம்பைக் (pine tree) கவனித்தால் அதில் இடப்புறமாகச் செல்லும் பதிமூன்று சுருள்களும், வலப்புறமாகச் செல்லும் எட்டுச் சுருள்களும் இருப்பது தெரிய  வரும்.  இந்த மாதிரியான வடிவமைப்பு பல பூக்களில், பல தாவரங்களில் உள்ளன.  இதைக்  ரீதியில் 

ஃபிபனாச்சி (Fibonacci Series) என்ற கணிதத் தொடர் நம்மைச் சூழ்ந்துள்ள உலகை வேறொரு தளத்தில் புரிந்து கொள்ள உதவுகிறது 

     குழந்தைகளிடம் நீங்கள் கணக்கு என்றால் என்ன? என்று கேட்டுப் பாருங்கள்.  பெரும்பாலான குழந்தைகள் கணக்கு என்பது, எண்களுடன் தொடர்பு கொண்டது அல்லது என்றோ, பல சட்டங்களை/வழிமுறைகளை பின்பற்ற வேண்டிய பாடம் என்றோ கூறுவார்கள் - என்கிறார் ஜோ.  இந்த பதில், ஒரு மோசமான கணிதக் கல்வியின் விளைவு என்கிறார்.  

     உண்மையான கணிதம் என்பது குறிப்பிட்ட பாணியில் நிகழும் சங்கதிகளை இணைத்துப் பார்க்க/அறிந்து கொள்ள உதவும் பயிற்சி. இத்தகைய பயிற்சி எந்த அறிவுள்ள ஜீவனுக்கும் அவசியம் தேவை.  உதாரணமாக, விதை விதைத்த பின்னரே செடி முளைக்கிறது என்பதை உணர்வதும், ஒரு குறிப்பிட காலத்தில் விதைக்கப்பட்ட விதை மற்ற விதைகளை விட நன்றாக வளர்கிறது  என்பதை அறிவதும், எளிய செயல்கள் அல்ல. மேம்போக்காகப் பார்ப்பதற்கு இந்த நிகழ்வுகளுக்கு இடையே எந்த தொடர்பும் இல்லாதது போன்று தோன்றும்.    ஆனால், இந்த நிகழ்வுகளுக்கு இடையே இருக்கும் தொடர்பை/பாணியை உணரும் தன்மையே (recognizing a pattern among seemingly unconnected events), கணிதத்தின் முக்கிய அம்சம் என்கிறார் ஜோ.

     ஒட்டு மொத்தமாக நோக்கினால், கணிதக் கல்வி என்பது, நம்மைச் சுற்றி உள்ள உலகத்தை புரிந்து கொள்ள உதவும் ஒரு வழி முறையாக இருக்க வேண்டும்.  தற்கால கணிதக் கல்வி இவ்வாறு இல்லை என்கிறார் ஜோ.

தரமான கணிதக்கல்வி எப்படி இருக்க வேண்டும்?

     பல விதமான கணிதக் கல்வி முறைகளில் கற்றுத் தேர்ந்த மாணவர்களின் வாழ்க்கையை அவர்கள் கணிதம் கற்று முடித்த பின்னரும் கூட பல ஆண்டுகள் தொடர்ந்து அவர்களது வாழ்வை கவனித்து செய்த ஆய்வின் முடிவுகளை ஒட்டி, நல்ல கணிதக் கல்வி எப்படி இருக்க முடியும் என்பதற்கு இரண்டு வழிமுறைகளை அடையாளம் காட்டுகிறார் ஜோ.

     முதல் வழி, கணிதத்தை  'விளக்கும்' வழியாக அணுகுவது.  இந்த முறையில், ஒரு கணக்குக் கேள்வியை பல முறைகளில் விளக்குவது - வார்த்தைகளை கொண்டு, படங்களைக் கொண்டு, குறியீடுகளைக் கொண்டு, உதாரணங்களைக் கொண்டு, பொருள்களைக் கொண்டு விளக்குவது. இப்படி ஒரு கணக்குக் கேள்வியை அணுகும் பொது, குழந்தைகள் இயல்பாகவே ஒரு கேள்வியை பல கோணங்களில் அணுகலாம் என அறிந்து கொள்வர்.  இந்த முறையில், ஒரு முக்கிய பங்கு குழந்தைகளுடையது.  அவர்கள், தங்களுக்குள் இந்த கேள்வியைப் பகிர்ந்து கொள்வதும், ஒருவருக்கொருவர் விளக்கிக் கொள்வதும் நிகழ்கிறது.  ஆசிரியர், குழந்தைகள் ஏதாவது ஒரு சிக்கலைச் சந்திக்கும் போது உதவும் ஒரு வழிகாட்டியாக மட்டும் இருக்கிறார்.  இந்தக் கல்வி முறை, வாத்தியார் பாடம் சொல்லிக் கொடுப்பதும், மாணவர்கள் அமைதியாக உட்கார்ந்து கேட்டுக் (கற்றுக்) கொள்வதும் என்ற வழக்கமான கல்வி முறையில் இருந்து முற்றிலும் மாறு பட்டது. 

     இரண்டாவது வழி, குழந்தைகளுக்கு ஒரு சவாலை விடுப்பது.  குழந்தைகள் அந்தச் சவாலை தனியாகவோ, கூட்டாகவோ எதிர் கொள்ள வேண்டும்.  இந்த சவால்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட முடிவை நோக்கி மாணவர்களைக் நகர்த்தும் பரிசோதனைகள் அல்ல. இந்த சவால்களை, மாணவர்கள், தங்கள் திறமைக்கேற்ப, விரிவுபடுத்திக் கொள்ளலாம், மாற்றி அமைத்துக் கொள்ளலாம்.  உதாரணமாக, ஆசிரியர் மாணவர்களிடம், "ஒரு பொருளின் கொள்ளளவு (volume) 216, அந்தப் பொருளின் பரிமாணங்கள் எத்தகையதாக இருக்கும்?", என்ற சவாலை விடுத்தால், பல மாணவர்கள், அந்தச் சவாலை பல கோணங்களில் அணுகுவார்கள்.  அந்தச் சவாலைத் தீர்ப்பதற்குள் அவர்கள், கோணங்கள் பற்றியும், பரிமாணங்களுக்குள் இருக்கும் உறவுகள் பற்றியும், கூட்ட/கழிக்க/பெருக்க/வகுக்க என்ற கணக்கு முறைகள் பற்றியும் அறிந்து கொள்வார்கள்.  ஆசிரியர்கள் குழந்தைகள் தடுமாறும் போது  உதவும் வழிகாட்டியாக மட்டும் இருப்பார்கள்.

     இந்த இரண்டு கல்வி முறைகளிலும், மாணவர்களுக்கு பெரும் சுதந்திரம் அளிக்கப் படுகிறது.  ஒரு சவாலை தங்களுக்கு பிடித்த கோணத்தில் அணுக, மாற்றியமைக்க சுதந்திரம் உள்ளது.  ஆனால், இந்தக் கல்வி முறையில், ஆசிரியர்கள் மாணவர்கள் மீது செலுத்தும் பிடியை பெருமளவு தளர்த்தி கொண்டு, குழந்தைகள்  தடுமாறும் போது மட்டும் வழிகாட்டும் உதவியாளராக மட்டும் இருக்க வேண்டும்.

குழந்தைகளின் கல்வியை எப்படி மதிப்பிடுவது?

 

     

     தரப்படுத்தப்பட்ட தேர்வுகளில் (standardized tests), மாணவர்கள் ஒரு கேள்விக்கு பல விடைகளில் இருந்து சரியான விடையைத் தெரிவு செய்கிறார்கள்.  மாணவர்கள் தெரிவு செய்த விடைகள்  சரியா, தவறா, என்பதை கணினிகளின் மூலம் அளவிடுகிறார்கள்.  இவ்வகையான தரம் பிரித்தல் (grading), மாணவர்களுக்கு என்ன தெரியும் என்பதையோ, எந்த அளவிற்கு அவர்களுக்கு பாடம் புரிந்திருக்கிறது என்பதையோ, அளவிடுவது இல்லை.  பல் விடைக் கேள்விகள் (multiple choice questions), கணிதப் பயிற்சிக்கு முக்கியமான சிந்தனைத் திறனையோ, தர்க்க அறிவையோ, சிக்கலான கேள்விகளைத் தீர்க்கும் சக்தியையோ, அளவிடுவதில்லை.  சில குழந்தைகள், இத்தகைய பல் விடைக் கேள்விகளை அணுகுவதில் நிபுணர்களாக ஆகி விடுகிறார்கள் - பாடம் புரியாமலே கூட.  சில குழந்தைகள், பாடம் புரிந்திருந்தும், இத்தகைய பல்விடைக் கேள்விகளை அணுகும் முறை தெரியாமல் தவிக்கிறார்கள்.  ஜோ, பல ஆய்வுகளின் முடிவுகள், இந்த மாதிரி தேர்வு முறைகளைக் கொண்டு குழந்தைகளின் கல்வியை மதிப்பிடுவது பெரும் தீங்கை விளைவிக்கிறது என்கிறார். 

     இத்தகைய தரப்படுத்த தேர்வுகளுக்க மாற்றாக, ஜோ, வேறு ஒரு முறையை வழிமொழிகிறார்.  இந்த வழியை, பொதுவாக, 'கற்பதற்கான மதிப்பீடு', (assessment for learning) என்று கூறலாம்.  இதில் மூன்று முக்கிய அம்சங்கள் உள்ளன.

     முதலில், ஆசிரியர்கள் குழந்தைகளிடம் கணிதக் கல்விக்கான இலக்குகளை தெளிவாகச் சொல்ல வேண்டும்.  அதை மாணவர்கள் புரிந்து கொண்டார்களா என்று கவனிக்க வேண்டும்.  உதாரணமாக,   "இந்தப் பாடத்தை படித்து முடித்தவுடன் உங்களால் ஒரு எண்  தொகையின் சராசரிக்கும், நடு எண்ணுக்கும் (median) உள்ள வித்தியாசத்தையும், எந்த சமயத்தில் எதை பயன்படுத்துவது என்பதையும் சொல்ல இயலும்", என்பதை ஆசிரியர் பாடத்தை நடத்துமுன் ஆசிரியர் பாட இலக்காக முன்வைக்கலாம்.  அதாவது, மதிப்பீட்டின் முதல் இலக்கு, மாணவர்களிடம் இருந்து என்ன எதிர்பார்க்கப் படுகிறது என்பதைத் தெளிவுபடுத்துவது தான்.

     இரண்டாவது அம்சம்,  பாடத்தைச் சொல்லித் தரும் போதே மாணவர்கள், அந்தப் பாடம் புரிகிறதா இல்லையா என ஆசிரியரிடம் சொல்லும் வாய்ப்பு இருக்க வேண்டும்.  இதை எப்படி செயல்முறையில் பயன்படுத்துவது என்பதற்கு ஒரு பள்ளியின் வழக்கத்தை உதாரணமாகக் காட்டுகிறார்.  இந்தப் பள்ளியில், ஒவ்வொரு மாணவரிடமும், சிகப்பு, பச்சை, மஞ்சள் நிற காகிதக் கோப்பைகள் கொடுக்கப் படுகின்றன   பாடம் நடத்தும் போது ஆசிரியர் வேகமாகச் செல்கிறார் என்று எந்த மாணவராவது நினைத்தால், அந்த மாணவர் மஞ்சள் நிறக் கோப்பையைத் தன மேசையில் மீது வைக்கலாம். நிறைய மாணவர்கள், சிகப்பு நிறக் கோப்பையை வைத்தால், அந்தப் பாடத்தை ஆசிரியர் திரும்ப நடத்தலாம்.  ஆரம்பத்தில், சந்கோசப்பட்டுக் கொண்டு எல்லா மாணவர்களும் பச்சை நிறக் கோப்பைகளைத் தான் வைப்பார்கள்.  ஆனால், பச்சை நிறக் கோப்பை மேசை மேல் வைத்திருக்கும் மாணவர்களிடம் தொடர்ந்து ஓரிரு வாரம் ஆசிரியர் கேள்வி கேட்டால், பாடம் புரிந்தால் மட்டுமே பச்சை நிறக் கோப்பையை மேசை மேல் வைக்க வேண்டும் என்று மாணவர்கள் கற்றுக் கொள்வர் என்கிறார் ஜோ.  அது மாத்திரமின்றி கேள்வி கேட்பது என்பதும், பாடம் புரியவில்லை என்று சொல்வதும் கல்வியின் ஒரு இயல்பான அம்சமாக மாறி விடும் என்று சொல்கிறார்.  

     இதன் கடைசி அம்சம், மாணவர்களின் கல்வியை மதிப்பிடும் முறை.  ஒவ்வொரு மாணவனின் விடைத் தாளையும், பிற மாணவர்கள் மதிப்பிட வேண்டும் (grade).  மாணவர்கள் ஒருவருக்கொருவர் தங்களது விடைகளை, விடைகளை அடைந்த விதத்தை, விளக்கிக் கூற வேண்டும்.  பிறகு, ஆசிரியர் மாணவர்களின் விடைகளைச் சரி பார்க்க வேண்டும், மதிப்பிட வேண்டும் என்கிறார்.  ஆசிரியர், விடைத்தாளை மதிப்பிடும் போது செய்ய வேண்டிய முக்கியப் பணி, அந்த மாணவன் அடுத்து என்ன செய்ய வேண்டும் என்பதை வலியுறுத்துவதே.  அவன் பிற மாணவர்களை ஒப்பிடும் பொது எவ்வளவு மதிப்பெண் வாங்கி உள்ளான் என்று கூறுவது மதிப்பிடுதல் அல்ல.  

     ஜோ, பள்ளிகளில் வழக்கமாக மதிப்பிடும் முறைகள், குழந்தைகளை அவரவர் மதிப்பெண்களுக்கு ஏற்ப பிரித்து விடுகின்றன.  அதனால், ஆசிரியர்கள், குறைந்த "மதிப்பெண்" வகுப்புகளில் உள்ள மாணவர்களிடம்  அதிகம் எதிர்பார்ப்பது இல்லை. ஆசிரியர்கள், யாரும் சொல்லாமலே, அந்த மாணவர்களுக்கு 'கடினமான' பாடங்களை வலியுறுத்துவதும் இல்லை.  புத்திசாலி மாணவர்கள் கூட, வெகு விரைவிலேயே எளிய பாடங்களைக் கண்டு சலிப்படைந்து விடுகிறார்கள், அல்லது எனக்கு கணக்கு வராது என்ற முடிவை அடைந்து விடுகிறார்கள்.

     அப்படி இல்லாமல், கற்பதற்கான மதிப்பீட்டு முறைகளில், மாணவர்கள் என்ன கற்க வேண்டும் என்பதில் மட்டுமே கவனம் செலுத்தப் படுகிறது.  இந்த மதிப்பீட்டு முறை, ஒரு மாணவனை இன்னொரு மாணவனுடன் ஒப்பிடும் வேலையைச் செய்வதில்லை.  இப்படிச் சொல்வதால், எல்லா மாணவர்களும் ஒரே தரத்தில் கற்றுக் கொள்வார்கள் என்று சொல்லவில்லை.  கற்பதற்கான மதிப்பீட்டு முறையில், ஆசிரியருக்கும், மாணவருக்கும், கற்கும் போதே பிழைகளைத் திருத்தி மேலும் கற்றுக் கொள்ளும் வாய்ப்பு உருவாக்கப் படுகிறது.  வழக்கமான, மதிப்பீட்டு முறையில், மதிப்பெண்களுக்கு  மட்டுமே முக்கியத்துவம் அளிக்கப்படுகிறது.  இத்தகைய மதிப்பீடு, ஆசிரியருக்கும் சரி, மாணவருக்கும் சரி இழைக்கப்படும் அபகாரம் மட்டுமே.

கணிதமும்,  மாணவிகளும்

 

     உங்கள் வீட்டில் பெண் குழந்தைகள் இருந்தால், இந்தப் புத்தகத்தை நீங்கள் அவசியம் படிக்க வேண்டும்.  பெண்களும் ஆண்களும் கணக்குக் கேள்விகளை அணுகும் விதத்தில் பெரும் வேறுபாடுகள் உள்ளதை, நரம்பியல் நிபுணர்கள் கண்டு பிடித்து உள்ளனர்.  உதாரணமாக, மாணவர்கள் விடைக்கான வழிமுறையை மட்டுமே கொண்டு கணக்கு கேள்விகளை எதிர்கொள்வதைப் பற்றி கவலை கொள்வதில்லை.  ஆனால், மாணவர்களை விட மாணவிகள், ஒரு விடை, ஏன் இப்படி இருக்கிறது, எவ்வாறு இந்த விடை வந்தது என்பதைப் புரிந்து கொள்வதில் ஆர்வம் உள்ளவர்களாக இருக்கின்றனர்.  அதனால், ஆசிரியர்கள், குறிப்பாக கணக்கு ஆசிரியர்கள், இதை மனதில் கொள்ள வேண்டும் என்கிறார் ஜோ.

கணிதத்தைச் சொல்லித் தரும் முறை

வகுப்பறையில்:
  
     கிரே மற்றும் தாவீது, என்ற இரு ஆங்கிலேய ஆய்வாளர்கள், கணிதக் கல்வி முறையில், ஒரு பெரும் தாக்கத்தை ஏற்படுத்தியவர்கள். அவர்களுடைய மிகப் பெரிய கண்டுபிடிப்பு இது தான்.  எண்களை எவ்வளவுக்களவு நெகிழ்வாக (flexible) பயன்படுத்த குழந்தைகள் கற்றுக் கொள்கின்றனவோ அவ்வளவுக்களவு குழந்தைகளால் கணக்கில் சிறப்பாக செயல்பட இயலும் என்பதே. உதாரணமாக, ஒரு குழந்தையிடம் 4+13 எவ்வளவு என்று கேட்டால், ஆரம்ப நிலைக் குழந்தை, விரல்களை விரித்து, ஒன்றிலிருந்து பதினேழு வரை கூட்ட ஆரம்பித்துவிடும்.  அதை விட கொஞ்சம் அதிக கணித அறிவு கொண்ட குழந்தை, நான்கிலிருந்து, ஐந்து, ஆறு, என்று 17 வரை கூட்ட ஆரம்பிக்கும்.  அதை விட, கொஞ்சம் கணிதத் திறமை கொண்ட குழந்தை, "எனக்கு பத்தும் நாலும் பதினாலு, என்று தெரியும், அது கூட மூனைக் கூட்டினால், பதினேழு", என்ற விடைக்கு வரும்.  இந்தக் குழந்தை, கொடுத்த கேள்வியை தனக்கு உகந்த முறையில் மாற்றியமைத்து சரியான விடைக்கு வந்தது.  அதிகக் கணக்குத் திறமை இல்லாத குழந்தைகள், எண்களை கூட்டும் நிலையிலேயே தங்கி விடுவதால், பெரிய எண்களைக் கூட்டும் போது தவறு நேர்கிறது.  வெறுமே, விரல்களால் கூட்டி 65+37 இன் விடையை கண்டுபிடிப்பது, கடினமானது தானே?  தவறுகளும் இயல்பு தானே?  பிழைகளைச் சந்திக்கும் போது பெரும்பாலான குழந்தைகள் இன்னும் கவனமாக கூட்ட முயற்சி செய்கின்றனர்.  வேறு வழி தெரியாததால், எவ்வளவு கவனமாக கூட்டினாலும் இந்தக் கூட்டல் முறையில் பிழை நேரும் பொது அவர்கள் தன்னம்பிக்கை இழக்கின்றனர்.  கணிதக் கல்வியை கடினமான ஒன்றாக கருத ஆரம்பிக்கின்றனர்.  

     இந்தப் பிரச்சினையை தீர்க்க, குழந்தைகளுக்கு எண்களை பல வகையில் பிரித்து பயன் படுத்தக் கற்றுக் கொடுக்க வேண்டும்.  கணக்கு வினாக்களை, மாற்றியமைத்து, எண்களை நெகிழ்வாக பயன்படுத்தக் கற்றுக் கொடுப்பது அவசியம்.  கணிதக் கல்வி இத்தகைய நெகிழ்வுத் தன்மையை வளர்க்கும் வகையில் இருக்க வேண்டும் என்கிறார், ஜோ.

     இன்னொரு முக்கியமான அம்சம், வகுப்பறையில் குழந்தைகளுக்கு கணிதத்தின் முக்கிய அம்சமான, தர்க்க ரீதியான அணுகுமுறையைச் சொல்லிக் கொடுப்பது.  சரியான விடையை விட, அந்த விடைக்கு ஒரு மாணவர் எப்படி கண்டடைந்தார் என்பதை மற்றவர்களிடம் சொல்லும் வழக்கத்தை பயில்விப்பது.  இது மாணவர்களுக்கு தங்கள் கணிதத் திறமை மீது நம்பிக்கையை உண்டு பண்ணும்.
 

     கடைசியாக, கணிதக் கல்வி என்பது, ஒரு வினாவை, பல கோணங்களில் இருந்து அணுகும் ஒரு கலை.  எனவே, மாணவர்களை, ஒரு வினாவைத் தீர்க்க பல முறைகளைக் கையாளலாம் எனக் கற்றுக் கொடுப்பது மிகவும் அவசியம்.  சில சமயங்களில், மாணவர்கள், ஒரு வினாவை மாற்றியமைப்பதின் மூலம், அந்த வினாவை மேலும் நன்றாக புரிந்து கொள்ள முடியும் என்கிறார்.

வீட்டில்:

      
     வீட்டில் கணக்குக் கல்விக்கு உகந்த சூழலை பெற்றோர்கள் உருவாக்கலாம்.  கோலிக்குண்டுகள், புதிர்கள், கணக்கை அடிப்படையாகக் கொண்ட விடுகதைகள் ஆகியவை குழந்தைகளிடம் கணக்கைப் பற்றிய இயல்பான ஒரு ஆர்வத்தை வளர்க்கும்.  குழந்தைகள் தவறு செய்தால், அதை மென்மையாகத் திருத்துங்கள், "ஓ, நீ என்ன யோசிக்கிறாய் என்று எனக்கு தெரிகிறது.  நீ, இந்த மாதிரி நினைகிறாயா?...", என்பது போல் சொல்லுங்கள்.  நீங்கள் பதற்றமின்றி, சாந்தமாக கணக்கைச் சொல்லித் தந்தால், உங்கள் குழந்தைகளும், கணக்கை பதற்றமின்றி அணுகுவார்கள்.

கடைசியாக,

ஆசிரியர் ஜோ போளர் 

     ஆசிரியர் ஜோ, இந்தப் புத்தகத்தில் கணிதக் கல்வி பற்றிய தனது அபிப்ராயங்களைச்  சொல்லவில்லை.  பல விதமான கணிதக் கல்வி முறைகளில் பயின்ற மாணவர்களின் வாழ்க்கையை தொடர்ந்து கவனித்து, அதன் விளைவுகளை கவனமாக அறிவியல் பூர்வமான முறையில் ஆராய்ந்து  எடுக்கப்பட்ட முடிவுகளை இந்தப் புத்தகத்தில் கூறியுள்ளார்.  அதுவே இந்தப் புத்தகத்தின் வலு.    புத்தகத்தில்  புதிர்கள், வினாக்கள், என்று பல வகையான சுவாரஸ்யமான உதாரணங்கள் மூலம் தன் கருத்துக்களைச் சொல்கிறார். இவருடைய கருத்துகளுக்கு ஸ்டான்போர்ட் பல்கலைகழகத்திலே இருந்த சில பேராசிரியர்களே எதிர்ப்பு தெரிவித்தனர்.  இருப்பினும் இவரது புத்தகம் நம் கணிதக் கல்வியைப் பற்றிய  நியாயமான கேள்விகளை எழுப்பியுள்ளது.   நீங்கள் ஒரு கணக்கு ஆசிரியராகவோ, குழந்தைகளின் கல்வி பற்றிய கவலை கொண்ட பெற்றோராகவோ இருந்தால், இந்தப் புத்தகம் உங்களுக்கு பெரும் பயன் அளிக்கும்.